ค้นหาทุกอย่างในเว็บครูบ้านนอก :
ชุมชนครู บุคลากรทางการศึกษา และนักเรียน แหล่งความรู้สำหรับครู นักเรียน ข่าวการศึกษา ห้องสมุดความรู้ทุกกลุ่มสาระการเรียนรู้ และความรู้ทั่วไป เผยแพร่ผลงานวิชาการ ที่นี่


ข่าวการศึกษา     ความรู้ทั่วไป     งานราชการ/รัฐวิสาหกิจ/บริการสังคมคณิตศาสตร์  ▶ ข่าว/บทความ ▶ หน้าแรก

สมการและอสมการ


คณิตศาสตร์ เปิดอ่าน : 70,431 ครั้ง
สมการและอสมการ

Advertisement

สมการและอสมการ โดย นางสุภา สุจริตพงศ์

          สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ  2x  =  3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
          เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X  =  -1ซึ่งเขียนได้ว่า x2  = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
          สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า "-1 และ 1" หรือพูดว่าสมการ x2 = 1 มีคำตอบ  2  คำตอบ  คือ  -1 และ 1
          สมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลัง*  ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่าสมการเชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t +      1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว

          การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ
          (1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
          (2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม

          สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5  เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้
                      2x + 3   =  5
                      2x          =  2  นำ  3  มาลบทั้งสองข้าง
                        x          =  1  นำ  2  มาหารทั้งสองข้าง
          จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5
                    
          * เราเขียน 5 ได้ว่า 51 และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 52 และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 53 และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             ให้ x แทนจำนวนใด ๆ ก็ตาม
             เราเขียน X  ได้ว่า X1 และเรียกเลข 1 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X ได้ว่า X2 และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X x X ได้ว่า X3 และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X5 และเรียกเลข 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             เลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

          หลักข้อ (2)  ห้ามนำ O มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย O ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ห้ามนำ O มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย  = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม  ตัวอย่างเช่น สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0  นั้นมีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ O แล้วย่อมได้ O

          ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย  =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย  =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่น สมการ x = 3 กับสมการ x2 = 32 ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3  มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ   3 ส่วนสมการ x2 = 32 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

          สมการ  x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย  x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

          สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x =    และ  y  =  -3   เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1),  (3,0) ,  (      ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y  ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

          เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่งคือ การเขียนกราฟ

          สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y

          สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว  คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ 2x-2  =0 จุดบนกราฟที่  y เป็น 0  คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)
           เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ  2x - 2  = 0
                                                          หรือสมการ  2x + 3 = 5

           สมการ x2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x2 - 2x - 3  = 0 เราแก้ได้โดยเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3  =  y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
           เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 หรือ x2 - 2x = 3

           ในการแก้สมการ x2 - 2x + 2 = 0  เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่าจุด (x,0) ไม่อยู่บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ  x2 - 2x + 2 = y นั่นคือไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม  x2 - 2x + 2  ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่าสมการ x2 -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง



ทุกจุดบนเส้นตรงในกราฟ เป็นคำตอบของสมการ x - y = 3


กราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 + y2 = 1


กราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = y

[ดูภาพทั้งหมดในเรื่องนี้]

หัวข้อ

สมการเชิงเส้น
           บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่าเขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว"

          ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ
                         x + y     = 20  (จำนวนหัว)
                       4x + 2y   = 50  (จำนวนขา)

         เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ถ้าแทน x  ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียกระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)

         ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้หลายวิธี แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเขียนกราฟ

         คำตอบ (5, 15) สำหรับระบบสมการในโจทย์ปัญหาเรื่องชาวนากับสัตว์เลี้ยง หาได้จากกราฟ ดังนี้
         เขียนกราฟของสมการทั้งสองจะได้เส้นตรง 2 เส้น ทุกจุดบนเส้นตรงสีน้ำเงินเป็นคำตอบของสมการ x + y = 20 ทุกจุดบนเส้นตรงสีแดง เป็นคำตอบของสมการ 4x + 2y = 50 จุดตัดคือ (5, 15) จึงเป็นคำตอบของสมการทั้งคู่พร้อมๆ กันและเป็นคำตอบของระบบสมการนี้

         เราจึงสรุปได้ว่า ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้น ที่มีตัวแปร 2 ตัว 2 สมการ อาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่มีคำตอบเลยในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองขนานกัน หรือมีคำตอบมากมายแจกแจงไม่หมดในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองทับกัน
         แม้ว่าระบบสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัว จะไม่ใช่ระบบสมการเชิงเส้นเราก็อาจแก้ไขได้โดยวิธีเขียนกราฟ เช่น

         ระบบสมการเชิงเส้น  x2 + 4y2 = 4
                                  y = x2 - 2
         มีคำตอบ 4 คำตอบ ค่าโดยประมาณคือ (-1.1,-.8), (1.1,-8), (-1.6,.6), 1.6,.6

[กลับหัวข้อหลัก]

ระบบสมการเชิงเส้น x + y = 20 และ 4x + 2y = 50


ระบบสมการเชิงเส้น x2 + 4y2 = 4 และ y = x2 - 2

[ดูภาพทั้งหมดในเรื่องนี้]
สมการไดโอแฟนทีน
          สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า  สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)

          ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละเท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กัน ก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"
          ถ้าสมมุติว่ามีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย  5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x  และ n+1 = 7y  เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

          เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y  เมื่อ x และ y  แทนจำนวนเต็มบวก

          จะเห็นว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y)  เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ  ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,... ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่าจำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ต้องการ ก็จะได้คำตอบ  34

          สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีนที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x2 + y2  = z2 ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส*(Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาวที่เป็นจำนวนเต็มของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบกันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตรต่อไปนี้ คือ

          x = a2 - b2,y = 2ab และ  z = a2 + b2 เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็ม เช่น ถ้าให้ a = 2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2  เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1เราจะได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น

         เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

         สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2  ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12  ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบเลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือไม่ เช่น สมการ xn + yn = zn  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่

         แฟร์มาต์* ทำนายไว้ว่า "สมการ xn + yn = zn  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2"  ข้อความนี้เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า "ไม่ว่า x, y, z, n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 แล้ว จะได้ว่า xn + yn  zn" ข้อความนี้เรียกกันว่า ทฤษฏีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) ในระยะเวลา 300 กว่าปีที่ผ่านมานี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และมีผู้ค้นพบข้อความนี้เป็นข้อความจริงสำหรับหลายค่าของ n เช่น มีผู้พิสูจน์ได้ว่า "ไม่ว่า x,y,z,n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 และน้อยกว่า 100 แล้ว จะได้ว่า xn + yn    zn" แต่จนบัดนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นข้อความจริงหรือเท็จ

        ความจริง ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกิดในชีวิตประจำวันมักจะไม่ใช่ปัญหาสมการ เช่น ถ้าเราต้องการซื้อของ เราก็มักจะใช้ซื้อจนเงินหมดกระเป๋า เพียงแต่ซื้อไม่ให้เกินเงินที่มีอยู่เท่านั้น เช่น มีเงิน 20 บาท จะซื้อส้มเขียนหวานราคากิโลกรัมละ 4 บาท เราอาจจะไม่ซื้อจนหมดเงิน เราอาจจะซื้อเพียง 1 กิโลกรัม หรือ 2 กิโลกรัมเท่านั้น แต่เราจะซื้อเกิน 5 กิโลกรัมไม่ได้ ถ้าสมมุติว่าซื้อ x  กิโลกรัม จะสิ้นเงิน 4x  บาท ถ้าซื้อจนหมดเงิน จะเขียนได้เป็นสมการ 4x = 20 แต่โดยปกติแล้วเราไม่จำเป็นต้องซื้อจนหมดเงิน เราจึงกำหนดเพียงว่า 4x ต้องไม่มากกว่า 20 หรือ 4x  น้อยกว่าหรือเท่ากับ 20  ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า 4x    20

เครื่องหมายที่แสดงความไม่เท่ากันที่นิยมใช้กันมีดังต่อไปนี้
>     แทนคำว่า      มากกว่า
              "          มากกว่าหรือเท่ากับ
<            "          น้อยกว่า
              "          น้อยกว่าหรือเท่ากับ
             "         ไม่เท่ากับ


        * ไดโอแฟนทัสมีชีวิตอยู่ในสมัยประมาณ 250 ปี ก่อนคริสต์ศักราช เป็นชาวเมืองอเล็กซานเดรีย เราไม่ค่อยทราบรายละเอียดเกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก แต่อาจจะคำนวณอายุของเขาได้จากคำซึ่งเล่ากันต่อๆ มาดังนี้
            เขาเป็นเด็กอยู่ 1 ของอายุของเขา เป็นวัยรุ่นอยู่  ของอายุ เป็นชายโสดอยู่ 1  ของอายุ ลูกชายของเขาเกิดเมื่อเขาแต่งงานแล้ว 5 ปี ลูกชายตายก่อนเขา 4 ปี เขามีอายุยืนเป็น 2 เท่าของลูกชาย (คำตอบคือ 84 ปี)

       * ปีทาโกรัส เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกมีชีวิตอยู่ระหว่างปี 582-507 ปีก่อนคริสต์ศักราช ทฤษฎีบทของเขาซึ่งเรารู้จักกันดี คือทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่กล่าวว่ากำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ย่อมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวอีกสองด้าน

       *แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601-1665) เป็นชาวฝรั่งเศส อาชีพรับราชการ งานอดิเรกคือ คณิตศาสตร์ ถือได้ว่าเป็นคนหนึ่งที่ริเริ่มเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสแต่ปัจจุบันคนรู้จักเขามากจากผลงานของเขาเรื่องทฤษฎีของจำนวน (Theory of Numbers)
[กลับหัวข้อหลัก]

ปีทาโกรัส


แฟร์มาต์

[ดูภาพทั้งหมดในเรื่องนี้]

บรรณานุกรม
นางสุภา สุจริตพงศ์


สมการและอสมการ

Advertisement

≡ เรื่องอื่นๆ ที่น่าอ่าน ≡

เรื่องของกราฟ

เรื่องของกราฟ


เปิดอ่าน 19,418 ครั้ง
ปีอธิกสุรทิน

ปีอธิกสุรทิน


เปิดอ่าน 40,676 ครั้ง
ประวัติศาสตร์ของ ¶

ประวัติศาสตร์ของ ¶


เปิดอ่าน 19,635 ครั้ง
การระบายสีจุดของกราฟ

การระบายสีจุดของกราฟ


เปิดอ่าน 20,253 ครั้ง
ประวัติ แคลคูลัส

ประวัติ แคลคูลัส


เปิดอ่าน 24,655 ครั้ง
เธลีส (Thales) นักคณิตศาสตร์

เธลีส (Thales) นักคณิตศาสตร์


เปิดอ่าน 18,867 ครั้ง
การวัดมุมเป็นเรเดียน

การวัดมุมเป็นเรเดียน


เปิดอ่าน 42,672 ครั้ง
การวัดความสูง

การวัดความสูง


เปิดอ่าน 32,793 ครั้ง

:: เรื่องปักหมุด ::

คณิตศาสตร์ง่ายๆแต่แปลกดีแท้

คณิตศาสตร์ง่ายๆแต่แปลกดีแท้

เปิดอ่าน 61,670 ☕ คลิกอ่านเลย

Advertisement

≡ เรื่องน่าสนใจในหมวดหมู่นี้ ≡
การวัดมุมในระนาบดิ่ง
การวัดมุมในระนาบดิ่ง
เปิดอ่าน 17,659 ☕ คลิกอ่านเลย

ประวัติย่อของคณิตศาสตร์ : พีธาคอรัส (Pythagorus)
ประวัติย่อของคณิตศาสตร์ : พีธาคอรัส (Pythagorus)
เปิดอ่าน 91,771 ☕ คลิกอ่านเลย

สูตรลับการคูณแม่ 9 โดยใช้นิ้วมือทั้ง 10 นิ้ว(สุดยอดครับ)
สูตรลับการคูณแม่ 9 โดยใช้นิ้วมือทั้ง 10 นิ้ว(สุดยอดครับ)
เปิดอ่าน 37,908 ☕ คลิกอ่านเลย

การนำรูปเรขาคณิตมาวางเรียงกันทำให้เกิดลวดลาย
การนำรูปเรขาคณิตมาวางเรียงกันทำให้เกิดลวดลาย
เปิดอ่าน 58,082 ☕ คลิกอ่านเลย

เผยแพร่เอกสารและคลิปสาธิตเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต)
เผยแพร่เอกสารและคลิปสาธิตเทคนิคการคิดเลขเร็วแบบอินเดีย (เวทคณิต)
เปิดอ่าน 43,655 ☕ คลิกอ่านเลย

โจทย์เลขสิงคโปร์ป่วนเน็ต หาคำตอบกันทั้งโลก
โจทย์เลขสิงคโปร์ป่วนเน็ต หาคำตอบกันทั้งโลก
เปิดอ่าน 18,339 ☕ คลิกอ่านเลย

≡ เรื่องน่าอ่าน/สาระน่ารู้ ≡

น้ำประปาแปลงร่าง กลายเป็นน้ำแข็งคนกลับชอบ!?
น้ำประปาแปลงร่าง กลายเป็นน้ำแข็งคนกลับชอบ!?
เปิดอ่าน 10,192 ครั้ง

โลกต้องให้ความสำคัญกับครู (1)
โลกต้องให้ความสำคัญกับครู (1)
เปิดอ่าน 11,753 ครั้ง

ลายมือคนที่บั้นปลายของชีวิตมีเงินทอง มีหลักฐานมั่นคง
ลายมือคนที่บั้นปลายของชีวิตมีเงินทอง มีหลักฐานมั่นคง
เปิดอ่าน 24,850 ครั้ง

คู่มือการบริหารโรงเรียน ในโครงการพัฒนาการบริหารรูปแบบนิติบุคคล
คู่มือการบริหารโรงเรียน ในโครงการพัฒนาการบริหารรูปแบบนิติบุคคล
เปิดอ่าน 47,593 ครั้ง

ปฏิรูปการศึกษา ระบบการผลิตครู
ปฏิรูปการศึกษา ระบบการผลิตครู
เปิดอ่าน 14,230 ครั้ง

เกมส์ รวมเกมส์สนุกๆ มากมาย
สนามเด็กเล่น

แหล่งรวมเกมส์ เกมส์ให้เล่นมากมาย ศูนย์รวมเกมส์สนุกๆ เกมส์ความรู้ เกมส์ลับสมอง เกมส์ประลองยุทธ แหล่งรวบรวมข้อมูล เกมส์ เกมส์ออนไลน์ เกมส์มันๆ เกมส์ตัดผม ไว้มากมายที่นี่ ให้เด็กๆได้เลือกเล่นมากมาย คลิกเลย

 
หมวดหมู่เนื้อหา
เนื้อหา แยกตามหมวดหมู่ สามารถเลืออ่านได้ตามหมวดหมู่ที่นี่


· Technology
· บทความเทคโนโลยีการศึกษา
· e-Learning
· Graphics & Multimedia
· OpenSource & Freeware
· ซอฟต์แวร์แนะนำ
· การถ่ายภาพ
· Hot Issue
· Research Library
· Questions in ETC
· แวดวงนักเทคโนฯ

· ความรู้ทั่วไป
· คณิตศาสตร์
· วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
· ภาษาต่างประเทศ
· ภาษาไทย
· สุขศึกษาและพลศึกษา
· สังคมศึกษา ศาสนาฯ
· ศิลปศึกษาและดนตรี
· การงานอาชีพ

· ข่าวการศึกษา
· ข่าวตามกระแสสังคม
· งาน/บริการสังคม
· คลิปวิดีโอยอดนิยม
· เกมส์
· เกมส์ฝึกสมอง

· ทฤษฎีทางการศึกษา
· บทความการศึกษา
· การวิจัยทางการศึกษา
· คุณครูควรรู้ไว้
· เตรียมประเมินวิทยฐานะ
· ผลงานวิชาการเล่มเต็ม
· เครื่องมือสำหรับครู

ครูบ้านนอกดอทคอม

เว็บไซต์เพื่อครู ข่าวการศึกษา ความรู้ การศึกษาไทย

      kroobannok.com

© 2000-2020 Kroobannok.com  
All rights reserved.


Design by : kroobannok.com


ครูบ้านนอกดอทคอม
การจัดอันดับของ Truehits Web Directory

วิธีนำแบนเนอร์ของครูบ้านนอก.คอมไปแปะในเว็บท่าน บันทึกภาพแบนเนอร์นี้และลิงค์มาที่เราครับ (มีแบนเนอร์ 2 แบบ)
 

ครูบ้านนอกดอทคอม เว็บไซต์ของครูตัวเล็กๆ คนหนึ่ง ที่หวังเพียง ใช้เป็นช่องทางในการสื่อสาร แลกเปลี่ยน เพิ่มพูนความรู้ และให้ข่าวสาร ที่ทันสมัยต่อเหตุการณ์แก่คุณครู ผู้ปฏิบัติงานในทุกพื้นที่ของประเทศไทย เพื่อความเจริญงอกงามในปัญญา และเจริญก้าวหน้าในวิชาชีพ

เว็บนี้ถือกำเนิดเมื่อ 5 มกราคม 2548

Email : kornkham@hotmail.com
Tel : 096-7158383

สนใจสนับสนุนเรา โดยลงโฆษณา
คลิกดูรายละเอียดที่นี่ครับ